15章　　フーリエ　級数

　　　区間　[-π,π]　上で定義された関数　f(x)　に対し、

　　　 (　a₀　/　2　)　+　Σ^∞_n=1(　a_ncosnx　+　b_nsinnx　)

を　f(x)　のフーリエ級数といいます。ここで、a_n　,　b_nは

a_n　=　(　1　/　π　)　∫^π_-πf(x)　cosnx　dx　(　n　=　0　,　1　,　2　,　・・・)
b_n　=　(　1　/　π　)　∫^π_-πf(x)　sinnx　dx　(　n　=　1　,　2　,　3　,　・・・)

により定まる数で、f(x)　のフーリエ係数と呼ばれます。 f(x)　=　x²　,　x∈[-π,π]　　を例にとって、部分和　

S_m　(x)　=　s　(　x　,　m　)　=　(　a₀　/　2　)　+　Σ^m_n=1(　a_ncosnx　+　b_nsinnx　)

が収束していく様子を観察してみましょう。フーリエ級数の定義にもとづいて

＞f　:　=　x　->　x^2　
＞　a　:　=　n　->　(　1/Pi　)　*　(　int　(　f(x) 　*　cos　(n*x)　,　x=-Pi　.　.　Pi　)　)　
＞　b　:　=　n　->　(　1/Pi　)　*　(　int　 (　f(x)　*　sin　(n*x)　,　x=-Pi　.　.　Pi　)　)　
＞　s　:　=　(　x　,　m　)　-　>　a(0) 　/　2　+　sum　(　a(n)　*　cos　(n*x)　+　b(n)　*　sin　 (n*x)　,　n=1　.　.　m　)　

と入力していきます。部分和　s　(　x　,　1　)　を求めるには、

＞　s　(　x　,　1　)　

と入力します。部分和　s　(　x　,　1　)　のグラフを定義域　[-π,π]　で表示するには、

＞　plot　(　s　(　x　,　1　)　,　x　=　-Pi　.　.　Pi　)　

とくに、f(x)　のグラフと並べて表示するには、

＞　plot　(　{　f(x)　,　s　(　x　,　1　)　}　 ,　x　=　-Pi　.　.　Pi　)　

と入力します。

＞　plot　(　{　f(x)　,　s　(　x　,　1　) 　,　s　(　x　,　5　) 　,　s　(　x　,　9　)　,　s　(　x　,　13　)　} ,　x　=　-Pi　.　.　Pi　)　

と入力すると、f(x)　,　s　(　x　,　1　)　,　s　(　x　,　5　) 　,　s　(　x　,　9　)　,　s　(　x　,　13　)　を並べて表示します。

実習　15.1　部分和　s₅(x)　,　s₉(x)　,　s₁₃(x)　を求め、そのグラフを描いてみましょう。

[正解例]

実習　15.2　　関数　f(x)　=　-1　(　x∈[-π,0)のとき)　,　0　 (　x　=　0のとき)　,　1　(　x∈(0,π]のとき)　のフーリエ級数の部分和　s₁(x) 　,　s₅(x)　,　s₉(x)　,　s₁₃(x)を求め、そのグラフを描いてみましょう。ここで　Maple　では、階段関数　f(x)　は　signum(x)　と表します。

[正解例]

実習　15.3　関数　f(x)　=　|x|　,　(　x∈[-π,π]　) のフーリエ級数の部分和　s₁(x)　,　s₅(x)　,　s₉(x)　 ,　s₁₃(x)　を求め、そのグラフを描いてみましょう。ここで　Maple　では、|x|　は　abs(x)と表します。

[正解例]

15章 フーリエ 級数

15章　　フーリエ　級数